Як знайти обернену функцію?

Щоб знайти обернену функцію, виконайте такі кроки: 1) Перевірте, чи є функція бієктивною; 2) Замініть f(x) на y; 3) Поміняйте x і y місцями; 4) Розв'яжіть рівняння відносно y. Результатом буде обернена функція f⁻¹(x).

Коли функція є оберненою?

Функція є оберненою, якщо вона бієктивна — тобто однозначна (ін’єктивна) та на покриття (сюр’єктивна). Строго зростаючі або спадаючі функції на своїй області визначення завжди є оберненими.

Обернена функція

Q: Що таке обернена функція?

Обернена функція міняє місцями ролі аргументів та значень. Якщо функція f переводить x у y, то її обернена f⁻¹ переводить y назад у x. Функція має бути бієктивною (і ін’єктивною, і сюр’єктивною), щоб мати обернену.

2025-02-24

Що таке обернена функція

У вступі до функцій ми бачили, що функція \( f: X \to Y \) називається бієктивною, якщо вона одночасно є ін'єктивною та сюр'єктивною, тобто для кожного \( y \in Y \) існує єдиний \( x \in X \), такий що \( f(x) = y \).

\( X \) — це область визначення.
\( Y \) — це область значень (кодомен).
Функція називається ін'єктивною, якщо для будь-яких \( x_1, x_2 \in X \), при яких \( x_1 \ne x_2 \), маємо \( f(x_1) \ne f(x_2) \). Іншими словами, для кожного \( y \in Y \) існує не більше одного \( x \in X \), такого що \( f(x) = y \).
Функція називається сюр'єктивною, якщо для кожного \( y \in Y \) існує принаймні один \( x \in X \), такий що \( f(x) = y \).

Функція \( f : X \to Y \) є бієктивною тоді і тільки тоді, коли існує функція \( g : Y \to X \), така що:

\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) = x \) для кожного \( x \in X \)
\( (f \circ g)(y) = f(g(y)) = y \) для кожного \( y \in Y \)

У цьому випадку функція \( g \) є єдиною і називається оберненою функцією до \( f \), що позначається як: \[ f^{-1} = g \]

\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \) називається композицією функцій, що означає спочатку застосування \( f \) до \( x \), а потім застосування \( g \) до отриманого результату.

Зроблення функції оберненою шляхом обмеження її області визначення

Розглянемо функцію \( f(x) = x^2 \), визначену на \( \mathbb{R} \). Це квадратична функція, графіком якої є парабола з вершиною в початку координат Декартової системи координат. На всій своїй області визначення \( \mathbb{R} \) функція не є оберненою, оскільки вона не є ін'єктивною: різні значення аргументу можуть давати однакове значення функції, наприклад \( f(-2) = f(2) \).

Однак, якщо ми обмежимо область визначення проміжком \( [0, +\infty) \), функція стане бієктивною і, отже, оберненою. У цьому випадку обернена функція має вигляд:

\[ f(x) = x^2 \rightarrow f^{-1}(x) = \sqrt{x} \quad \text{для} \; x \geq 0 \]

Графік функції та графік її оберненої функції симетричні відносно прямої \(y = x\), яка є бісектрисою першої та третьої чвертей Декартової площини.

Якщо функція \( f \) компонується зі своєю оберненою \( f^{-1} \), результатом є тотожна функція, яка відображає кожен елемент множини в самого себе:

\[ f(f^{-1}(x)) = f^{-1}(f(x)) = x \]

Як знайти обернену до загальної функції

Перевірте, чи є функція бієктивною, або визначте обмеження її області визначення, яке зробить її бієктивною.
Замініть \( f(x) \) на \( y \), щоб працювати з рівнянням \( y = f(x) \).
Поміняйте місцями змінні \( x \) та \( y \): запишіть \( x = f(y) \). Це відображає ідею обернення вхідних і вихідних даних.
Розв'яжіть рівняння відносно \( y \), виразивши його явно.
Перепишіть результат як \( f^{-1}(x) = \ldots \), використовуючи \( x \) як вхідну змінну для оберненої функції.

Приклад

Знайдемо обернену до функції \( f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 3} \).

Функція \( f \) є бієктивною на своїй області визначення \( \mathbb{R} \setminus {-3} \), оскільки вона строго зростає: її похідна завжди додатна. Це гарантує, що \( f \) є ін'єктивною, а оскільки образ \( f \) охоплює всі дійсні числа, за винятком однієї точки, вона також є сюр'єктивною на свою область значень.

Запишемо функцію у вигляді рівняння: \[ y = \dfrac{2x – 1}{x + 3} \]

Поміняємо \( x \) та \( y \) місцями
\[ x = \dfrac{2y - 1}{y + 3} \]

Розв'яжемо відносно \( y \). Помножимо обидві частини на \( y + 3 \):
\[ x(y + 3) = 2y - 1 \]

Розкриємо дужки в лівій частині:
\[ xy + 3x = 2y - 1 \]

Перенесемо всі доданки зі змінною \( y \) в один бік і винесемо \( y \) за дужки:
\[\begin{align} &xy – 2y = -1 – 3x\\[0.5em] &y(x – 2) = -1 – 3x \end{align} \]

Знайдемо \( y \):
\[ y = \dfrac{-1 – 3x}{x – 2} \]

Обернена функція має вигляд: \[ f^{-1}(x) = \dfrac{-1 - 3x}{x - 2} \]

Теорема про обернену функцію

Корисним результатом базового аналізу є одновимірна версія теореми про обернену функцію. Ідея досить інтуїтивна: якщо функція поводиться регулярно на проміжку, то її можна обернути без труднощів. Точніше, припустимо, що функція \(f\) є неперервною та диференційною на проміжку \(I\), і її похідна ніколи не перетворюється на нуль:

\[ f’(x) \neq 0 \quad \forall \, x \in I \]

За таких умов функція є строго монотонною на \(I\), що гарантує її оберненість на цьому проміжку. Як наслідок, на \(f(I)\) існує обернена функція \(f^{-1}\). Ця обернена функція є не тільки неперервною, а й диференційною, і її похідна визначається співвідношенням:

\[ \bigl(f^{-1}\bigr)'(y) = \frac{1}{f’\!\bigl(f^{-1}(y)\bigr)} \]

Цей результат показує, як локальна умова (похідна ніколи не стає рівною нулю) забезпечує глобальну властивість, таку як оберненість.