Правило Лопіталя

Невизначені форми

Правило Лопіталя — це метод обчислення певних границь, які призводять до невизначених форм. Теорема встановлює критерій для розв'язання невизначеної форми границі однієї або кількох функцій за допомогою їхніх похідних. Під невизначеними формами ми розуміємо такі вирази невизначеності, як: \[ \frac{0}{0} \quad \text{та} \quad \frac{\infty}{\infty} \]

Ці форми перешкоджають прямому обчисленню границі, оскільки вони означають випадки, коли одних лише стандартних теорем про границі недостатньо для визначення результату і потрібні додаткові аналітичні методи.

Формулювання

Згідно з правилом Лопіталя, якщо дві функції, \( f(x) \) та \( g(x) \), визначені на проколотому околі \( I \) точки \( x_0 \), мають бути виконані наступні умови:

  • \( f(x) \) та \( g(x) \) є диференційовними в \( I \), за можливості, крім точки \( x_0 \).
  • \( g’(x) \neq 0 \) для всіх \( x \in I \), при \( x \neq x_0 \).
  • \( \displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = 0 \).
  • Наступна границя існує (скінченна або нескінченна): \[ \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f’(x)}{g’(x)} \]

Якщо вищезазначені умови виконуються, то існує наступна границя: \[ \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f’(x)}{g’(x)} \]

Простіше кажучи, якщо частка двох функцій призводить до невизначеної форми, її границію можна визначити шляхом обчислення границі їхніх похідних при \( x \to x_0 \), за умови, що ця остання границя існує.

Правило аналогічно застосовується до невизначеної форми \( \infty/\infty \). Припустимо, що \( f(x) \to \infty \) та \( g(x) \to \infty \) при \( x \to x_0 \), і що обидві функції є диференційовними в околі \( x_0 \) при \( g’(x) \neq 0 \). Якщо границя частки похідних існує, то початкова границя дорівнює цьому значенню, як показано нижче:

\[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f’(x)}{g’(x)} \]

Доведення

Щоб довести теорему, розглянемо довільну точку \( x \in I \) при \( x > x_0 \). Застосуємо теорему Коші до \( f(x) \) та \( g(x) \). Теорема стверджує, що за певних умов існує точка \( c \in ]x_0, x[ \), така що:
\[ \frac{f’\left( c \right )}{g’\left( c \right)} = \frac{f(x) - f(x_0)}{g(x) - g(x_0)} \]

За гіпотезою, маємо \( f(x_0) = g(x_0) = 0 \). Отже, \((1)\) набуває вигляду:
\[ \frac{f’\left( c \right)}{g’\left( c \right)} = \frac{f(x)}{g(x)} \]

На цьому етапі точка \( c \) не є фіксованою: вона залежить від \( x \). Точніше, для кожного \( x \neq x_0 \) теорема Коші гарантує існування точки \( c = c(x) \), такої що: \[x_0 < c(x) < x \quad \text{якщо } x > x_0\] \[x < c(x) < x_0 \quad \text{якщо } x < x_0\] Припустимо, наприклад, що \( x \to x_0^+ \). Тоді маємо \(0 < c(x) - x_0 < x - x_0.\) Оскільки \( x - x_0 \to 0 \), за теоремою про затискання звідси випливає, що \(c(x) – x_0 \to 0\) і, отже, \(c(x) \to x_0\). Аналогічний аргумент діє, коли \( x \to x_0^- \). Звідси ми робимо висновок, що: \[ \lim_{x \to x_0} \frac{f’(c(x))}{g’(c(x))} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} \]

Якщо \( f’(x) \) та \( g’(x) \) є неперервними в точці \( x_0 \), то їхні границі в точках \( c \) та \( x \) збігаються. Таким чином, виконується наступна рівність: \[ \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f’ \left( c \right)}{g’ \left(c \right)} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f’(x)}{g’(x)} \]

Тоді ми отримаємо те, що хотіли довести: \[ \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f’(x)}{g’(x)} \]

Приклад 1

Обчислимо наступну границі, що містить функцію синуса.

\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\]

Це досить проста границя, але на перший погляд вона призводить до невизначеної форми. Дійсно, підставивши \(0\) замість \(x\), отримаємо:

\[ \frac{\sin 0}{0} = \frac{0}{0} \]

Оскільки функції задовольняють необхідним умовам для правила Лопіталя, границі частки можна замінити границею відношення їхніх похідних:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sin x)’}{(x)’} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} \]

Умови теореми задоволені. Дійсно, маємо, що \(\sin(x)\) та \(x\) є неперервними функціями при \(x_0 = 0\), і \(\sin(0) = 0,\, x\big|_{x=0} = 0\). Крім того, обидві функції є диференційовними на інтервалі \(I\), що містить \(0\), а похідна знаменника \(g’(x)\), яка в цьому випадку дорівнює \(1\), відмінна від нуля.

У цьому випадку, обчисливши границі та значення \(\cos(x)\), ми знайдемо, що границя дорівнює (1):

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \frac{\cos(0)}{1} = \frac{1}{1} = 1 \]

Отже, ми можемо зробити висновок, що:

\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1\]

Приклад 2

Тепер розглянемо складніший сценарій, у якому вираз призводить до невизначеності типу \( -\infty + \infty \). У таких ситуаціях рекомендованим підходом є переписування різниці двох функцій у вигляді добутку або частки. Така трансформація дозволяє перетворити вираз на одну зі стандартних невизначеностей, до яких застосовується правило Лопіталя, а саме:

\[ \frac{0}{0} \quad \text{або} \quad \frac{\infty}{\infty} \]

Розглянемо наступну границю:

\[\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{\sin x} – \frac{2}{x}\right)\]

Ця границя призводить до невизначеності типу \(-\infty + \infty\). Щоб застосувати правило Лопіталя\(^*\), ми повинні спочатку переписати її як один дріб, отримавши таким чином невизначеність типу \(\frac{0}{0}\) або \(\frac{\infty}{\infty}\). Маємо:

\[ \lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{\sin x} - \frac{2}{x}\right) = \lim_{x \to 0}\frac{x – 2\sin x}{x\sin x} \]

Перед застосуванням теореми завжди необхідно перевірити, чи виконуються початкові умови.

Обчисливши похідну, границя набуває вигляду: \[\lim_{x \to 0} \frac{1 - 2\cos x}{\sin x + x\cos x}\]

Підстановка \( x = 0 \) в отриманий вираз дає \(-1/0\), що означає, що границя є розбіжною.

Результат:

\[\lim_{x \to 0} \frac{1 – 2\cos x}{\sin x + x\cos x} = -\infty\]

Загалом, якщо застосування правила Лопіталя призводить до границі, яка залишається невизначеністю, правило можна застосовувати неодноразово, за умови, що на кожному етапі виконуються необхідні умови. При кожній ітерації важливо підтвердити, що і новий чисельник, і знаменник наближаються або до \(0\), або до \(\infty\).

Невизначені добутки

Той самий принцип, що був проілюстрований у Прикладі 2, можна застосувати при зустрічі з невизначеностями типу \(0 \cdot \infty\), що виникають із добутку двох функцій \(f(x)\cdot g(x)\). У цьому випадку, щоб переписати вираз у формі, приданій для застосування правила Лопіталя, достатньо представити добуток наступним чином:

\[ f(x)\cdot g(x) = \frac{f(x)}{\dfrac{1}{g(x)}} \quad\text{або}\quad f(x)\cdot g(x) = \frac{g(x)}{\dfrac{1}{f(x)}} \]

Наприклад, розглянемо наступну границю:

\[ \lim_{x \to 0^+} x \ln x \]

Цей вираз представляє невизначеність типу \(0 \cdot \infty\). Добуток можна переписати як частку:

\[ \lim_{x \to 0^+} x \ln x = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\dfrac{1}{x}} \]

Отриманий вираз тепер є невизначеністю типу \(\dfrac{\infty}{\infty}\), що підходить для застосування правила Лопіталя:

\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\dfrac{1}{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{(\ln x)’}{\left(\dfrac{1}{x}\right)’} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\dfrac{1}{x}}{-\dfrac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0 \]

Вибрана література