Теорема Коші

Вступ

Теорема Коші встановлює зв'язок між змінами двох функцій на заданому проміжку. Зокрема, якщо \( f(x) \) та \( g(x) \) є неперервними на замкненому проміжку \([a, b]\) і диференційовними всередині нього, при цьому \( g’(x) \neq 0 \), то існує принаймні одна точка \( c \) у \( (a, b) \), де відношення їхніх похідних дорівнює відношенню їхніх загальних змін на проміжку:

Формулювання

Теорема Коші стверджує наступне. Нехай \( f(x) \) та \( g(x) \) — дві функції такі, що:

  • \( f(x) \) та \( g(x) \) є неперервними на проміжку \([a, b]\).
  • \( f(x) \) та \( g(x) \) є диференційовними в кожній точці всередині проміжку.
  • \( g’(x) \neq 0 \) для кожного \( x \) всередині \([a, b]\).

Тоді існує принаймні одна точка \( c \) всередині проміжку \([a, b]\) така, що:

\[ \frac{f’ \left(c \right)}{g’ \left(c \right)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \]

тобто відношення прирістів функцій \( f(x) \) та \( g(x) \) на проміжку \([a, b]\) дорівнює відношенню їхніх відповідних похідних, обчислених у точці \( c \) всередині проміжку.

При виборі \(g(x) = x\) теорема Коші зводиться безпосередньо до теореми Лагранжа. Оскільки \(g’(x) = 1\) та \(g(b) - g(a) = b - a\), висновок набуває вигляду: \[ \frac{f’(c)}{1} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \] Таким чином, теорема Лагранжа є особливим випадком теореми Коші, що отримується, коли одна з двох функцій є тотожністю.

Теорема Коші забезпечує теоретичну базу для доведення правила Лопіталя.

Доведення теореми Коші

Щоб довести теорему, визначимо нову функцію \( \varphi(x) \), де \( \lambda \) — стала, яку необхідно визначити:

\[ \varphi(x) = f(x)-\lambda g(x) \]

Ми хочемо обрати \( \lambda \) так, щоб \( \varphi(a) = \varphi(b) \). З цієї умови ми отримаємо:

\[ \lambda = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \]

Тепер функція \( \varphi(x) \) є неперервною на \([a, b]\) та диференційовною на \((a, b)\), при цьому \( \varphi(a) = \varphi(b) \). Ми можемо застосувати теорему Ролля, яка гарантує, що існує принаймні одна точка \( c \in (a, b) \), така що \( \varphi’ \left(c \right) = 0 \). Обчисливши похідну \( \varphi(x) \) та прирівнявши \( \varphi’ \left(c \right) = 0 \), ми отримаємо:

\[\varphi’(x) = f’(x) – \lambda g’(x) \] \[f’ \left(c \right) = \lambda g’ \left(c \right) \]

Підставивши значення \( \lambda \), отримаємо:

\[ f’ \left(c \right) = \frac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)} g’ \left(c \right) \]

Поділивши обидві частини на \( g’ \left(c \right ) \), отримаємо:

\[ \frac{f’ \left(c \right)}{g’ \left(c \right)} = \frac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)} \]

Таким чином, ми довели висновок теореми.

Приклад 1

Перевіримо, наприклад, що теорема застосовна до функцій \(f(x)\) та \(g(x) \) на проміжку [1,3]:

\[f(x) = 2x^2-4x+2\] \[g(x) = x^2\]

Обидві функції є поліномами, отже вони є неперервними та диференційовними для кожного \( x \in \mathbb{R} \). Крім того, \( g’(x) = 2x \neq 0 \). Це задовольняє гіпотези теореми.

Тепер перевіримо існування точки \( c \in (1,3) \), такої що:

\[ \frac{f’ \left(c \right)}{g’ \left(c \right)} = \frac{f(3)-f(1)}{g(3)-g(1)} \]

Отримаємо:

\[\frac{f(3)-f(1)}{g(3)-g(1)} = \frac{18-12+2-2+4-2}{9-1} = \frac{8}{8} = 1\]

Тепер обчислимо:

\[ \frac{f’ \left(c \right)}{g’ \left(c \right)} = \frac{4c-4}{2c} \]

З \(1\), рівність набуває вигляду:

\[ \begin{align} \frac{4c - 4}{2c} &= 1 \\[0.5em] \frac{4c – 4}{2c} &= \frac{2c}{2c} \\[0.5em] 4c - 4 &= 2c \\[0.5em] 2c &= 4 \\[0.5em] c &= 2\\ \end{align} \]

Оскільки \( c = 2 \in [1,3] \), теорема підтверджена.

Зауваження щодо гіпотези \(g’(x) \neq 0\)

Розглянемо особливий випадок, коли \(g(b) = g(a)\). У цій ситуації знаменник наступного відношення дорівнює нулю, і вираз є невизначеним: \[ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \] З цієї причини неможливо ввести сталу: \[ \lambda = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \] Як наслідок, доведення з використанням наступної допоміжної функції більше не є дійсним: \[ \varphi(x) = f(x) – \lambda g(x) \] За гіпотез теореми Коші така ситуація не виникає. Умова \(g’(x) \neq 0\) всередині проміжку гарантує, що \(g\) є строго монотонною, що, в свою чергу, гарантує, що \(g(b) \neq g(a)\). Отже, випадок \(g(b) = g(a)\) виключається припущеннями теореми.

Вибрана література