Диференціальні рівняння

Що таке диференціальні рівняння?

Звичайним диференціальним рівнянням називають зв'язок, що включає функцію \( f(x) \), визначену на проміжку \( I \subset \mathbb{R} \), разом із скінченною кількістю її похідних. Рівняння має виконуватися для всіх \( x \) на проміжку \( I \). Загальний вигляд звичайного диференціального рівняння \( n \)-го порядку має такий вигляд:

\[ F\left(x, f(x), f’(x), f’'(x), \dots, f^{(n)}(x)\right) = 0 \]

де \( F \) — задана функція, що залежить від незалежної змінної \( x \), невідомої функції \(y = f(x) \) та її похідних до \( n \)-го порядку. Прикладом диференціального рівняння є:

\[ f’(x) + x f(x) = 0 \quad \text{або} \quad y’ + x y = 0 \]

Порядок диференціального рівняння

Порядком диференціального рівняння називають порядок найвищої похідної, що з'являється в рівнянні. Наприклад, наступне диференціальне рівняння є рівнянням третього порядку, оскільки третя похідна від \( y \) є похідною найвищого порядку, що присутня в рівнянні:

\[ y’’ - 3y’ + 2y = 0 \]

Диференціальні рівняння часто вважаються складними. З цієї причини ми будемо вводити поняття поступово, з метою формування ґрунтовного розуміння методів, що використовуються для їхнього розв'язання.

Розв'язки диференціального рівняння

Загалом, диференціальне рівняння може мати безліч розв'язків. Загальним розв'язком є сімейство функцій, що залежать від \( n \) довільних сталих, де \( n \) відповідає порядку рівняння. Це сімейство включає кожен можливий розв'язок диференціального рівняння.

  • Будь-яка функція, що задовольняє диференціальне рівняння, називається розв'язком або інтегралом рівняння.

  • Окремим розв'язком диференціального рівняння є конкретна функція, отримана шляхом присвоєння конкретних значень довільним сталим у загальному розв'язку.

  • Початковими умовами є обмеження, які дозволяють нам вибрати окремий розв'язок із загального сімейства.

Форми та типи диференціальних рівнянь

Кажуть, що диференціальне рівняння має нормальну форму, якщо його можна записати як:

\[ y^{(n)} = F(x, y, \dots, y^{(n-1)}) \]

Тобто рівняння явно розв'язане відносно похідної найвищого порядку.

Диференціальне рівняння називається автономним, якщо незалежна змінна не з'являється явно в його виразі. Рівняння \(y’ = y^2 – 1\) є автономним, оскільки права частина залежить тільки від \( y \), а не від незалежної змінної \( x \).

Якщо задано диференціальне рівняння разом із множиною початкових умов, то задача знаходження розв'язку, що задовольняє і рівняння, і задані умови, називається задачею Коші. Задача Коші для диференціального рівняння першого порядку зазвичай записується як:

\[ \begin{cases} y’(x) = f(x, y(x)) \\[0.5em] y(x_0) = y_0 \end{cases} \]

де \( y’(x) = f(x, y(x)) \) — це диференціальне рівняння, а \( y(x_0) = y_0 \) — початкова умова, що визначає значення розв'язку при \( x = x_0 \).

Як розв'язувати прості диференціальні рівняння

Почнемо з розв'язання дуже простих диференціальних рівнянь, зокрема рівнянь першого порядку вигляду \( y’ = f(x) \). У цьому випадку розв'язок отримують шляхом інтегрування обох частин рівняння, що дає:

\[\int y’ \, dx = \int f(x) \, dx \]

Для такого типу рівнянь загальний розв'язок має вигляд:

\[ y(x) = \int f(x) \,dx + c \]

де \( c \in \mathbb{R} \) — довільна стала.

Приклад 1

Розв'яжемо диференціальне рівняння:

\[ y’ – 3x = 0 \]

Перепишемо його у стандартній формі та проінтегруємо обидві частини:

\[ y’ = 3x \]

\[ \int y’ \,dx = \int 3x \, dx \rightarrow y(x) = \frac{3}{2}x^2 + c \]

Розв'язки представлені інтегральними кривими, заданими рівнянням:

\[y(x) = \frac{3}{2}x^2 + c\]

Кожна крива представляє окремий розв'язок загальної форми. Значення \( C \) визначає вертикальне положення (вертикальний зсув) кривої. Усі криві мають однакову параболічну форму, відкриту вгору, але вони зміщені по вертикалі залежно від значення \( C \). Разом це сімейство кривих представляє повну множину розв'язків диференціального рівняння.

Розв'язання:

\[y(x) = \frac{3}{2}x^2 + c\]

Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними

Диференціальне рівняння першого порядку називається рівнянням з відокремлюваними змінними, якщо його можна переписати у вигляді:

\[ y’ = a(x) b(y) \]

Щоб знайти загальний інтеграл такого типу рівняння, ми почнемо з ділення обох частин рівняння на \( b(y) \). Отримаємо:

\[ \frac{y’}{b(y)} = a(x) \]

Потім ми інтегруємо обидві частини відносно \( x \), отримуючи:

\[ \int \frac{y(x)’}{b(y(x))}\, dx = \int a(x) \, dx + c \]

Замінивши \( y = y(x) \), отримаємо:

\[ \int \frac{dy}{b(y)}\, dx = \int a(x) \, dx + c \]

Приклад 2

Розв'яжемо диференціальне рівняння:

\[y’ = xy\]

Маємо диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними. Перенесемо всі члени, що містять \( y \), в один бік, а ті, що містять \( x \), — в інший:

\[ \frac{1}{y} \, dy = x \, dx \]

Інтегруємо обидві частини та отримуємо:

\[ \int \frac{1}{y} \, dy = \int x \, dx \]

\[ \ln |y| = \frac{x^2}{2} + c \]

Для повного огляду правил інтегрування та поширених інтегралів див. відповідний розділ за цією темою.

Щоб виділити \( y \), позбудемося логарифма, піднісши обидві частини до степеня:

\[ |y| = e^{\frac{x^2}{2} + c} = e^c \cdot e^{\frac{x^2}{2}} = c e^{\frac{x^2}{2}} \]

де \( c \) — стала, що представляє \( e^c \).

Оскільки \( c \) є довільною сталою в \( \mathbb{R} \), яка може бути як додатною, так і від'ємною, ми можемо записати загальний розв'язок рівняння як:

\[ y(x) = c e^{\frac{x^2}{2}}, \quad c \in \mathbb{R} \]

Розв'язки представлені наступними інтегральними кривими:

Отже, загальний розв'язок:

\[ y(x) = c e^{\frac{x^2}{2}}, \quad c \in \mathbb{R} \]

Глосарій

  • Звичайна диференціальна рівняння: співвідношення, що пов'язує функцію, визначену на проміжку, та скінченну кількість її похідних, яке виконується в усіх точках цього проміжку.

  • Порядок диференціального рівняння: порядок найвищої похідної, що міститься в рівнянні.

  • Загальний розв'язок: сімейство функцій, що задовольняють диференціальне рівняння і містять довільні сталі, кількість яких дорівнює порядку рівняння.

  • Частковий розв'язок: конкретна функція, отримана із загального розв'язку шляхом присвоєння конкретних значень довільним сталам.

  • Початкові умови: умови, що визначають значення розв'язку та, можливо, його похідних у певній точці, які використовуються для визначення єдиного часткового розв'язку.

  • Задача Коші: завдання знайти розв'язок диференціального рівняння, що задовольняє задані початкові умови, зазвичай виражені як: \[ y(x_0) = y_0,\quad y’(x_0) = y_1, \ldots \]

  • Інтегральні криві: графіки розв'язків диференціального рівняння, що відображають розвиток функції на площині.