Комплексні числа в тригонометричній формі
Означення
Алгебраїчна форма \( z = a + bi \) представляє комплексне число безпосередньо через його дійсну та уявну частини. Кожне ненульове комплексне число також можна описати двома геометричними величинами: його відстанню від початку координат та його кутовим положенням на комплексній площині. Це призводить до тригонометричної форми комплексного числа:
\[z = r (\cos\theta + i\sin\theta)\]
де:
- \( r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \) — це модуль, що представляє відстань від \( z \) до початку координат на комплексній площині.
- \( \theta = \arg(z) \) — це аргумент, кут у радіанах між позитивною дійсною віссю та вектором, що представляє \( z \).
Оскільки точка \( z = (a, b) \) лежить на комплексній площині на відстані \( r \) від початку координат, а \( \theta \) — це кут, який вона утворює з позитивною дійсною віссю, дійсну та уявну частини можна виразити через означення синуса та косинуса у прямокутному трикутнику. Проєкції на дві осі мають наступний вигляд.
\[\overline{OA} = \overline{OP} \cdot \cos(\theta) = r \cos(\theta)\] \[\overline{OB} = \overline{OP} \cdot \sin(\theta) = r \sin(\theta)\]
Тобто, \( a = r\cos(\theta) \) та \( b = r\sin(\theta) \). Підставляючи ці значення в алгебраїчну форму комплексного числа, отримаємо його тригонометричне представлення.
\[ \begin{align} z = (a, b) &= a + ib \\[6pt] &= r \cos(\theta) + i r \sin(\theta) \\[6pt] &= r [\cos(\theta) + i \sin(\theta)] \\[6pt] \end{align} \]
Комплексно-спряжене число \( \bar{z} \) до комплексного числа \( z \) у тригонометричній формі отримують, замінивши \( \theta \) на \( -\theta \), що геометрично відповідає відображенню \( z \) відносно дійсної осі. Оскільки косинус є парною функцією, а синус — непарною, результат має наступний вигляд.
\[\bar{z} = r (\cos\theta - i\sin\theta)\]
Дивіться також, як виразити комплексне число в його показниковій формі.
Операції
Нехай задано два комплексних числа в тригонометричній формі:
\[z_1 = r_1 [\cos(\theta_1) + i \sin(\theta_1)]\] \[z_2 = r_2 [\cos(\theta_2) + i \sin(\theta_2)]\]
їхній добуток — це інше комплексне число, модуль якого дорівнює добутку модулів, а аргумент — сумі аргументів. Формула множення має наступний вигляд.
\[z_1 z_2 = r_1 r_2 [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2)]\]
Геометрично множення двох комплексних чисел відповідає масштабуванню їхніх відстаней від початку координат на добуток їхніх модулів та повороту результату на суму їхніх аргументів, поєднуючи розширення та поворот в одній операції.
Ця інтерпретація природно поширюється на цілі степені через теорему де Муавра.
Частка двох комплексних чисел у тригонометричній формі, визначена для \( z_2 \neq 0 \), підпорядковується симетричному правилу: модуль результату є відношенням модулів, а аргумент — різницею аргументів.
\[\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left[ \cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 – \theta_2) \right]\]
Додавання не має порівнянно компактної формули. Найпряміший підхід полягає в тому, щоб перевести обидва числа в алгебраїчну форму, окремо додати їхні дійсні та уявні частини, а потім, за потреби, повернути результат у тригонометричну форму. Дійсна та уявна частини суми мають наступний вигляд.
\[x = r_1\cos\theta_1 + r_2\cos\theta_2\] \[y = r_1\sin\theta_1 + r_2\sin\theta_2\]
Сума \( z_1 + z_2 \) тоді виражається в алгебраїчній формі як \( x + iy \). Щоб відновити тригонометричну форму, обчислюють модуль та аргумент результату. Модуль задається наступним чином.
\[r = \sqrt{x^2 + y^2}\]
При визначенні аргументу необхідно звернути увагу на чверть точки \( (x, y) \) на комплексній площині. Коли \( x > 0 \), маємо наступне.
\[\theta = \arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)\]
Коли \( x < 0 \), необхідно застосувати корекцію \( \pm\pi \) залежно від знака \( y \), а коли \( x = 0 \), аргумент дорівнює \( \pm\pi/2 \) відповідно до знака \( y \).
Модуль і аргумент
Модуль \( r \) комплексного числа представляє його відстань від початку координат на комплексній площині. Він обчислюється за допомогою теореми Піфагора, застосованої до дійсної та уявній складових, і його значення завжди є невивідним.
\[r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \geq 0\]
Оскільки модуль вимірює геометричну довжину, він не може бути від'ємним. Коли \( r = 0 \), єдиним комплексним числом, що задовольняє цю умову, є \( z = 0 \), що відповідає початку координат комплексної площини. У цьому випадку напрямкова складова відсутня, і аргумент \( \theta \) не визначений. Для кожного ненульового комплексного числа модуль є строго додатним, тобто \( r > 0 \).
Аргумент \( \theta \) комплексного числа описує його кутове положення на комплексній площині, що вимірюється в радіанах від позитивної дійсної осі. На відміну від модуля, який визначається однозначно, аргумент не є єдиним: два кути, що відрізняються на ціле число кратне \( 2\pi \), описують той самий напрямок, а отже, те саме комплексне число. Точніше, для будь-якого \( k \in \mathbb{Z} \), кути \( \theta \) та \( \theta + 2k\pi \) відповідають одній і тій самій точці на комплексній площині. Це часто записують у наступній компактній формі:
\[\arg(z) = \theta + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\]
Щоб отримати єдиного представника, зазвичай обирають головний аргумент, що позначається \( \text{Arg}(z), \) який є значенням \( \theta \), що лежить у наступному проміжку.
\[-\pi < \theta \leq \pi\]
За цією конвенцією кути вимірюються проти годинникової стрілки від позитивної дійсної осі, при цьому від'ємні значення відповідають напрямкам нижче неї. Альтернативна конвенція, поширена в інженерії та прикладній математиці, обмежує аргумент наступним проміжном.
\[0 \leq \theta < 2\pi\]
У цьому випадку всі аргументи беруться як невивідні. Обидві конвенції є однаково правильними; вибір залежить від контексту. Незалежно від прийнятої конвенції, аргумент \( z = 0 \) залишається невизначеним, оскільки початок координат не містить напрямкової інформації.
Як представити комплексне число в тригонометричній формі
- Дано комплексне число \( z = a + bi \), обчисліть його модуль за наступною формулою. \[r = \sqrt{a^2 + b^2}\]
- Визначте аргумент \( \theta \), визначивши квадрант точки \( (a, b) \) на комплексній площині. Коли \( a > 0 \), аргумент задається наступним чином. \[\theta = \arctan\!\left(\frac{b}{a}\right)\] Коли \( a < 0 \), необхідно додати поправку \( \pm\pi \) залежно від знака \( b \). Коли \( a = 0 \), аргумент дорівнює \( \pi/2 \), якщо \( b > 0 \), і \( -\pi/2 \), якщо \( b < 0 \).
- Підставте \( r \) та \( \theta \) у тригонометричну форму. \[z = r (\cos \theta + i \sin \theta)\]
Приклад
Розглянемо комплексне число \( z = 1 + i \) та його перетворення в тригонометричну форму. Модуль обчислюється шляхом прямого застосування означення. Оскільки \( a = 1 \) та \( b = 1 \), отримаємо наступне:
\[r = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\]
Щоб визначити аргумент, зауважимо, що точка \( (1, 1) \) лежить у першому квадранті комплексної площини, де обидві складові є додатними. Оскільки \( a > 0 \), аргумент задається арктангенсом відношення \( b/a \). Підстановка значень дає наступне:
\[\theta = \arctan\!\left(\frac{b}{a}\right) = \arctan\!\left(\frac{1}{1}\right) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}\]
Цей результат узгоджується з геометрією ситуації: комплексне число \( 1 + i \) лежить на бісектрисі першого квадранта, яка утворює кут \( \pi/4 \) радіан з позитивною дійсною віссю.
Підставляючи \( r = \sqrt{2} \) та \( \theta = \dfrac{\pi}{4} \) у тригонометричну форму, отримуємо кінцевий результат.
Комплексне число \( 1 + i \) у своїй полярній тригонометричній формі:
\[z = \sqrt{2} \left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} \right)\]