Теорема Піфагора

Формулювання

Теорема Піфагора стверджує, що в кожному прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів двох катетів:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

де \( c \) — гіпотенуза, а \( a \), \( b \) — катети. Важливо зазначити, що теорема Піфагора застосовується виключно до прямокутних трикутників (трикутників, що містять рівно один кут у 90 градусів).

Дано прямокутний трикутник зі сторонами \( a \), \( b \) (катетами) та \( c \) (гіпотенузою), тоді зв'язки між сторонами згідно з теоремою Піфагора такі:

Гіпотенуза: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Катет \( a \): \[ a = \sqrt{c^2 - b^2} \]

Катет \( b \): \[ b = \sqrt{c^2 – a^2} \]

Застосування

Теорема Піфагора може бути застосована щоразу, коли фігуру можна розбити таким чином, щоб вона містила прямокутний трикутник. Це корисно для визначення довжини сторін, діагоналей або інших відрізків, що належать початковій фігурі. Розглянемо, наприклад, квадрат, як показано на малюнку:

Провівши діагональ, можна розділити квадрат на два прямокутні трикутники, з яких можна вивести наступні зв'язки:

\[ \begin{aligned} \overline{DB}^2 &= \overline{AB}^2 + \overline{AD}^2 \\[0.5em] \overline{DB} &= \sqrt{\overline{AB}^2 + \overline{AD}^2} \end{aligned} \]

Цей самий принцип можна застосувати до рівнобічних або рівносторонніх трикутників, розділивши фігуру на два прямокутні трикутники за її висотою.

У трикутнику, зображеному на малюнку, ми можемо, отже, вивести наступне: \[ \begin{aligned} \overline{CB} &= \sqrt{\overline{CH}^2 + \overline{HB}^2} \\[0.5em] \overline{CH} &= \sqrt{\overline{CB}^2 - \overline{HB}^2} \\[0.5em] \overline{HB} &= \sqrt{\overline{CB}^2 - \overline{CH}^2} \end{aligned} \]

Загалом, цей принцип можна застосувати до всіх геометричних фігур, які можуть бути частково зведені до прямокутних трикутників, таких як прямокутники, ромби або частини трапецій.