Формули зведення та зведені кути

Формули зведення для \( \frac{\pi}{2} + \alpha \)

Розглянемо кут вигляду
\[ \frac{\pi}{2} + \alpha \]
де \( \alpha \) — гострий кут, відміряний від позитивної осі \( x \). Як показано на рисунку, починаючи від \( \frac{\pi}{2} \) (вертикальний напрямок), додавання малого кута \( \alpha \) зміщує кінцеву сторону трохи ліворуч від вертикальної осі. Це розміщує кут суворо між \( \frac{\pi}{2} \) та \( \pi \), що означає, що в декартових координатах він лежить у другій чверті.

Геометричний аналіз показує, що: \[ \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alpha\] \[ \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin\alpha \]

Іншими словами, синус кута \(\alpha\) (вертикальний відрізок у першій чверті) дорівнює за довжиною косинусу кута \(\frac{\pi}{2} + \alpha\) (горизонтальний відрізок у другій чверті), за винятком того, що останній має від'ємний знак. Оскільки з означення тангенса та котангенса маємо: \[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\qquad \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \] Таким чином ми отримаємо: \[ \tan\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \frac{\cos\alpha}{-\sin\alpha} = -\cot\alpha \] \[ \cot\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \frac{-\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\tan\alpha \]

Формули зведення для \( \frac{\pi}{2} – \alpha \)

Розглянемо тепер кут вигляду
\[ \frac{\pi}{2} - \alpha \]
де \( \alpha \) — гострий кут у першій чверті. У цьому випадку кут отримують шляхом повороту від позитивної осі \( x \) до \( \frac{\pi}{2} \), а потім повернення назад на \( \alpha \). Цей зворотний поворот зміщує кінцеву сторону праворуч від вертикальної осі, залишаючи її між \( 0 \) та \( \frac{\pi}{2} \). Отже, в декартових координатах кут лежить у першій чверті.

Маємо: \[ \sin\left(\frac{\pi}{2} – \alpha\right) = \cos\alpha \] \[ \cos\left(\frac{\pi}{2} – \alpha\right) = \sin\alpha \]

Таким чином, функції тангенса та котангенса дорівнюють: \[ \tan\left(\frac{\pi}{2} – \alpha\right) = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \cot\alpha \] \[ \cot\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha \]

Формули зведення для \( \pi + \alpha \)

Розглянемо наступний кут:
\[ \pi + \alpha \]
де \( \alpha \) — гострий кут. Починаючи з \( \pi \), що відповідає від'ємному напрямку \( x \)-осі, додавання \( \alpha \) повертає кінцеву сторону трохи вниз, у нижню ліву область декартової площини. Це розміщує кут суворо між \( \pi \) та \( \frac{3\pi}{2} \). Як результат, кут \( \pi + \alpha \) знаходиться у третій чверті.

Тотожності набувають вигляду: \[ \sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha \] \[ \cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha \]

Отже: \[ \tan(\pi + \alpha) = \frac{-\sin\alpha}{- \cos\alpha} = \tan\alpha \] \[\cot(\pi + \alpha) = \frac{-\cos\alpha}{-\sin\alpha} = \cot\alpha \]

Формули зведення для \( \pi - \alpha \)

Нехай тепер розглянемо наступний кут: \[ \pi - \alpha \]
де \( \alpha \) — гострий кут. Оскільки \( \pi \) відповідає від'ємному напрямку \( x \)-осі, віднімання \( \alpha \) переміщує кінцеву сторону трохи вгору, у верхню ліву область декартової площини. Як результат, кут лежить між \( \frac{\pi}{2} \) та \( \pi \). Отже, кут \( \pi - \alpha \) знаходиться у другій чверті.

Тотожності такі: \[ \sin(\pi – \alpha) = \sin\alpha\] \[ \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha \]

Функції тангенса та котангенса набувають вигляду: \[ \tan(\pi – \alpha) = \frac{\sin\alpha}{- \cos\alpha} = -\tan\alpha \] \[ \cot(\pi – \alpha) = \frac{-\cos\alpha}{\sin\alpha} = -\cot\alpha \]

Формули зведення для \( \frac{3\pi}{2} + \alpha \)

Тепер розглянемо кути, що виходять за межі \( 3\pi/2 \). Розглянемо кут вигляду: \[ \frac{3\pi}{2} + \alpha \]
де \( \alpha \) — гострий кут. Починаючи з \( 3\pi/2 \), що відповідає від'ємному напрямку \( y \)-осі, додавання \( \alpha \) повертає кінцеву сторону трохи праворуч, розміщуючи її між \(3\pi/2 \) та \( 2\pi. \) Це означає, що кут лежить у четвертій чверті, і тому:

Тотожності набувають вигляду:

\[ \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\cos\alpha\] \[ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\alpha \]

Функції тангенса та котангенса дорівнюють:

\[ \tan\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \frac{-\cos\alpha}{\sin\alpha} = -\cot\alpha \] \[ \cot\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \frac{\sin\alpha}{-\cos\alpha} = -\tan\alpha \]

Формули зведення для \( \frac{3\pi}{2} – \alpha \)

Тепер розглянемо кут, отриманий шляхом руху назад від \( 3\pi/2 \). Візьмемо кут:
\[ \frac{3\pi}{2} – \alpha \]
де \( \alpha \) — гострий кут. Оскільки \( 3\pi/2 \) відповідає негативному напрямку \( y \)-осі, віднімання \( \alpha \) зміщує кінцеву сторону трохи вгору в нижню ліву область декартової площини. Це розміщує кут між \( \pi \) та \( 3\pi/2 \). Отже, кут \( 3\pi/2 - \alpha \) лежить у четвертій чверті, і ми маємо:

Тотожності набувають вигляду:

\[ \sin\left(\frac{3\pi}{2} – \alpha\right) = -\cos\alpha\] \[ \cos\left(\frac{3\pi}{2} – \alpha\right) = -\sin\alpha \]

Тангенс і котангенс набувають вигляду: \[ \tan\left(\frac{3\pi}{2} – \alpha\right) = \frac{-\cos\alpha}{- \sin\alpha} = \cot\alpha \] \[ \cot\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \frac{-\sin\alpha}{- \cos\alpha} = \tan\alpha \]

Формули зведення для \( 2\pi - \alpha = -\alpha \)

Нарешті, розглянемо кути, що охоплюють повний оберт. Розглянемо кут
\[ 2\pi – \alpha = -\alpha \]
де \( \alpha \) — гострий кут. Віднімання \( \alpha \) від \( 2\pi \) переносить кінцеву сторону трохи нижче позитивної \( x \)-осі, розміщуючи її в четвертій чверті. Цей кут еквівалентний \( -\alpha \), що відображає періодичність тригонометричних функцій. Отже, для кута \( 2\pi - \alpha \) ми маємо:

Тотожності набувають вигляду:

\[ \sin(2\pi – \alpha) = -\sin\alpha\] \[ \cos(2\pi - \alpha) = \cos\alpha \]

Відповідні функції тангенса та котангенса:

\[ \tan(2\pi – \alpha) = \frac{-\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\tan\alpha \] \[ \cot(2\pi – \alpha) = \frac{\cos\alpha}{-\sin\alpha} = -\cot\alpha \]