Монотонні послідовності
Означення
Послідовність дійсних чисел може мати особливо регулярну закономірність зростання або спадання: кожен член може бути стабільно більшим за попередній або стабільно меншим. Послідовності з цією властивістю називають монотонними. Нехай \({a_n}_{n \in \mathbb{N}}\) буде послідовністю дійсних чисел. Кажуть, що послідовність є монотонно зростаючою, якщо для кожного індексу виконується наступна умова:
\[ a_n \leq a_{n+1} \quad \, \forall \, n \in \mathbb{N} \]
Якщо нерівність є строгою, послідовність називається строго зростаючою. Аналогічно, послідовність є монотонно спадаючою, якщо для кожного індексу виконується обернена умова:
\[ a_n \geq a_{n+1} \quad \forall \, n \in \mathbb{N} \]
і строго спадаючою, якщо \(a_n > a_{n+1}\) для всіх \(n\). Послідовність називається монотонною, якщо вона є або монотонно зростаючою, або монотонно спадаючою.
Стала послідовність, у якій кожен член дорівнює одному й тому самому значенню, задовольняє як \(a_n \leq a_{n+1}\), так і \(a_n \geq a_{n+1}\) для всіх \(n\), і, таким чином, є одночасно і зростаючою, і спадаючою за нестрогим означенням. Однак вона не є ні строго зростаючою, ні строго спадаючою, оскільки всюди виконується умова \(a_n = a_{n+1}\).
Теорема про збіжність монотонних послідовностей
Важливість монотонних послідовностей полягає в наступному результаті, який дає повну характеристику їхньої збіжності. Монотонна послідовність дійсних чисел збіжний тоді і тільки тоді, коли вона обмежена. Більше того, якщо \({a_n}\) є монотонно зростаючою та обмеженою зверху, то її границя дорівнює супремуму її області значень.
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \sup\{a_n : n \in \mathbb{N}\} \]
Аналогічно, якщо \({a_n}\) є монотонно спадаючою та обмеженою знизу, то її границя дорівнює інфімуму її області значень.
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \inf\{a_n : n \in \mathbb{N}\} \]
Доведення для випадку зростання виглядає так. Нехай \(L = \sup{a_n : n \in \mathbb{N}}\), який існує як скінченне дійсне число, оскільки послідовність обмежена зверху. Нехай \(\varepsilon > 0\).
Оскільки \(L\) є найменшою верхньою гранню, значення \(L – \varepsilon\) не є верхньою гранню для послідовності, і, отже, існує індекс \(N\), такий що \(a_N > L - \varepsilon\).
Оскільки послідовність зростаюча, кожен наступний член задовольняє \(a_n \geq a_N > L - \varepsilon\) для всіх \(n \geq N\). Оскільки \(L\) є верхньою гранню, ми також маємо \(a_n \leq L < L + \varepsilon\) для всіх \(n\).
Поєднання цих двох нерівностей дає \( |a_n - L| < \varepsilon \, \forall \, n \geq N \), що є саме означенням збіжності до \( L \).
Теорема безпосередньо пов'язує збіжність із супремумом та інфімумом послідовності, показуючи, що монотонні послідовності завжди збігаються до граничного значення своєї області значень, коли вони обмежені, і розбігаються до нескінченності, коли вони не обмежені.
Приклад
Розглянемо послідовність, задану наступним виразом:
\[ a_n = 1 – \frac{1}{n} \]
Кожен член задовольняє \(a_n < a_{n+1}\), оскільки віднімання меншої величини від \(1\) дає більший результат зі зростанням \(n\). Таким чином, послідовність є строго зростаючою. Вона також обмежена зверху числом \(1\), оскільки \(a_n < 1\) для кожного скінченного \(n\). Згідно з теоремою про збіжність монотонних послідовностей, ця послідовність збіжний, і її границя дорівнює супремуму її області значень.
\[ \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right) = 1 \]
Як другий приклад, розглянемо послідовність, задану рекурсивно наступним чином:
\[ a_1 = 2, \qquad a_{n+1} = \frac{a_n}{2} + \frac{1}{a_n} \]
Щоб показати, що послідовність є спадаючою, дослідимо знак \(a_{n+1} – a_n\).
\[ a_{n+1} – a_n = \frac{a_n}{2} + \frac{1}{a_n} – a_n = \frac{1}{a_n} - \frac{a_n}{2} = \frac{2 - a_n^2}{2a_n} \]
Цей вираз є від'ємним завжди, коли \(a_n > \sqrt{2}\), що, як ми зараз покажемо, виконується для всіх \(n \geq 1\). Застосувавши нерівність середнього арифметичного та середнього геометричного (AM-GM) до \(\frac{a_n}{2}\) та \(\frac{1}{a_n}\), отримаємо наступне:
\[ a_{n+1} = \frac{a_n}{2} + \frac{1}{a_n} \geq 2\sqrt{\frac{a_n}{2} \cdot \frac{1}{a_n}} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \]
Оскільки \(a_1 = 2 > \sqrt{2}\), і кожен член задовольняє \(a_{n+1} \geq \sqrt{2}\), послідовність обмежена знизу числом \(\sqrt{2}\) і є строго спадаючою. Теорема про збіжність монотонних послідовностей, отже, гарантує, що вона збігається до деякої границі \(L \geq \sqrt{2}\).
Щоб визначити \(L\), перейдемо до границі в рекурсивному співвідношенні. Оскільки \(a_{n+1} \to L\) та \(a_n \to L\), отримаємо рівняння:
\[L = \frac{L}{2} + \frac{1}{L}\]
яке спрощується до \(L^2 = 2\). Оскільки \(L \geq \sqrt{2} > 0\), ми робимо висновок, що \(L = \sqrt{2}\). Цей приклад ілюструє, як теорема про збіжність монотонних послідовностей може бути використана для встановлення збіжності та знаходження границі рекурсивно заданої послідовності, навіть коли немає виразу в закритій формі для загального члена.
Необмежені монотонні послідовності
Якщо монотонна послідовність не є обмеженою, теорема про збіжність монотонних послідовностей передбачає, що вона не може збігатися до жодної скінченної границі. Це не просто відсутність застосування теореми: це точне твердження про поведінку послідовності. Зростаюча послідовність, яка є необмеженою зверху, має члени, які зрештою перевищують будь-яке задане дійсне число, незалежно від того, наскільки воно велике, і тому послідовність розбігається до \(+\infty\). Симетрично, спадаюча послідовність, яка є необмеженою знизу, розбігається до \(-\infty\).
Послідовність \(a_n = n\) є найпростішим прикладом першого випадку. Вона строго зростає і не має верхньої межі, тому розбігається до \(+\infty\). Менш очевидним прикладом є послідовність частинних сум гармонічного ряду, визначена наступним виразом:
\[ s_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} \]
Ця послідовність строго зростає, оскільки кожен новий член додає позитивну величину. Питання про те, чи є вона обмеженою зверху, є нетривіальним, і відповідь заперечна: гармонічний ряд розбігається, тому \(s_n \to +\infty\).
Розбіжність відбувається достатньо повільно, що необмеженість не є одразу помітною при чисельному огляді (наприклад, \(s_{100} \approx 5.187\) та \(s_{10000} \approx 9.787\)), проте послідовність зростає без обмеження.
Цей приклад показує, що зростаюча послідовність може бути необмеженою навіть тоді, коли її члени зростають дуже повільно, і що теорема про збіжність монотонних послідовностей не дає короткого шляху: обмеженість має бути перевірена, а не припущена.
Зрештою монотонні послідовності
На практиці умова монотонності не обов'язково має виконуватися з самого першого члена послідовності. Послідовність називається зрештою зростаючою, якщо існує індекс \(N\) такий, що \(a_n \leq a_{n+1}\) для всіх \(n \geq N\), і зрештою спадаючою, якщо \(a_n \geq a_{n+1}\) для всіх \(n \geq N\). Початковий відрізок послідовності, що складається з скінченної кількості членів перед індексом \(N\), не має значення для питання збіжності.
Це є наслідком загального принципу в теорії послідовностей: збіжність є властивістю «хвоста» послідовності, тобто вона залежить лише від того, що відбувається для достатньо великих індексів. Зміна або видалення будь-якої скінченної кількості членів на початку послідовності залишає її збіжність та її границю повністю незмінними. Таким чином, теорема про збіжність монотонних послідовностей застосовується без змін до зрештою монотонних послідовностей:
- Якщо послідовність є зрештою зростаючою та обмеженою зверху, вона збігається.
- Якщо вона є зрештою спадаючою та обмеженою знизу, вона також збігається.
Для ілюстрації розглянемо послідовність, загальний член якої має наступний вигляд:
\[ a_n = \frac{n^2 - 5n}{n + 1} \]
Перші кілька членів є від'ємними, і послідовність спочатку спадає, але починаючи з певного індексу члени стають додатними, і послідовність зростає без обмеження. Послідовність є зрештою зростаючою, але необмеженою зверху, тому вона розбігається. Обмеженість не може бути вилучена з гіпотези теореми.