Додавання та віднімання поліномів

Означення та основні властивості

Нехай \( R \) — комутативне кільце, а \( R[x] \) — кільце поліномів від однієї змінної над \( R \). Розглянемо два поліноми \( P(x) \) та \( Q(x) \), де будь-які відсутні коефіцієнти вважаються рівними нулю:

\[ P(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k \qquad Q(x) = \sum_{k=0}^{m} b_k x^k \]

Додавання виконується шляхом підсумовування коефіцієнтів членів однакового степеня:

\[ P(x) + Q(x) = \sum_{k=0}^{\max(n,m)} (a_k + b_k)\, x^k \]

Сума є додаванням Коші послідовностей коефіцієнтів \( P \) та \( Q \), що гарантує коректність означення додавання поліномів та його незалежність від конкретного представлення кожного полінома. Результат знову є поліномом, і \( R[x] \) утворює абелеву групу відносно додавання.

Абелева група — це множина з бінарною операцією, яка є комутативною, асоціативною, має нейтральний елемент і для кожного елемента існує обернений; \( (R[x], +) \) задовольняє всі чотири умови, де нульовий поліном є нейтральним елементом, а \( -P(x) \) — оберненим до \( P(x) \).

Віднімання означається аналогічно, з заміною кожного \( b_k \) на \( -b_k \).

\[ P(x) - Q(x) = \sum_{k=0}^{\max(n,m)} (a_k - b_k)\, x^k \]

Вплив цих операцій на степінь залежить від того, чи скорочуються старші члени. Позначаючи \( \deg P = n \) та \( \deg Q = m \), маємо:

\[ \deg\bigl(P(x) \pm Q(x)\bigr) \leq \max\{n,\, m\} \]

Якщо \( n \neq m \), старший член полінома вищого степеня залишається незмінним, тому степінь результату дорівнює точно \( \max{n, m} \). Коли \( n = m \), степінь може зменшитися: якщо \( a_n + b_n = 0 \) при додаванні, або \( a_n = b_n \) при відніманні, старший член скорочується і степінь зменшується. Якщо всі члени скорочуються, результатом є нульовий поліном, якому за домовленістю присвоюється степінь \( -\infty \), щоб правило \( \deg(PQ) = \deg P + \deg Q \) виконувалось без розгляду нуля як особливого випадку.

Це мультиплікативне правило поширюється на \( \deg(P^k) = k \, \deg P \) для будь-якого цілого \( k \geq 1 \), за умови що \( R \) є областю цілісності. Над загальним комутативним кільцем це не обов'язково виконується, оскільки дільники нуля можуть призвести до зникнення старшого коефіцієнта добутку, навіть коли жоден із множників не є нульовим.

Приклад 2

Розглянемо наступні поліноми: \[ P(x) = 2x^2 + 3x – 1 \] \[ Q(x) = 2x^2 – x + 5 \]

Їхня різниця обчислюється наступним чином:

\[ \begin{align*} P(x) - Q(x) &= (2x^2 + 3x - 1) - (2x^2 - x + 5) \\[6pt] &= (2-2),x^2 + (3+1),x + (-1-5) \\[6pt] &= 4x - 6 \end{align*} \]

Оскільки обидва поліноми мають однаковий старший коефіцієнт, член степеня 2 скорочується, перетворюючи результат на поліном степеня 1. Це випадок, коли наступна оцінка є строгою:

\[ \deg(P - Q) \leq \max\{\deg P, \deg Q\} \]

Приклад 3

Розглянемо наступні поліноми:

\[ P(x) = x^2 + 3x - 1 \] \[ Q(x) = 2x^4 - x + 5 \]

Їхня сума обчислюється наступним чином:

\[ \begin{align*} P(x) + Q(x) &= (x^2 + 3x – 1) + (2x^4 – x + 5) \\[6pt] &= 2x^4 + x^2 + (3-1)\,x + (-1+5) \\[6pt] &= 2x^4 + x^2 + 2x + 4 \end{align*} \]

Оскільки два поліноми мають різні степені, старший член \( Q(x) \) не має відповідного члена в \( P(x) \), з яким він міг би скоротитися. Результатом є поліном степеня 4, що узгоджується з \( \deg(P + Q) = \max\{2,\, 4\} = 4 \).